π – Kreisbewegung, Sinus, Kosinus & Fourier-Vektor

π mit 50 Nachkommastellen

π = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510

1. Kreisbewegung und die Rolle von π

Ein Punkt bewegt sich auf einem Kreis mit Radius r. Ein kompletter Umlauf entspricht einem Winkel von 2π Radiant. Die Position des Punktes im Kreis wird beschrieben durch:

x(t) = r · cos(2π f t + φ)
y(t) = r · sin(2π f t + φ)

– r: Radius des Kreises (Slider „Radius r“)
– f: Frequenz in Hertz (Schwingungen/Umdrehungen pro Sekunde)
– t: vergangene Zeit in Sekunden
– φ: Phasenverschiebung (Startwinkel)
– 2π: Winkel eines vollständigen Kreises
π ist hier der Faktor, der Zeit und Frequenz in einen Winkel umrechnet.

2. Sinus- und Kosinuswelle als Projektionen

Die Kreisbewegung kann auf zwei Achsen projiziert werden:

– vertikale Projektion → Sinuswelle
– horizontale Projektion → Kosinuswelle

In der Wellenform:

ysin(t) = A · sin(2π f t + φ)
ycos(t) = A · cos(2π f t + φ)

– A: Amplitude (Höhe der Welle, Slider „Amplitude A“)
– f: Frequenz (wie schnell die Welle schwingt)
– φ: Phase (verschiebt die Welle nach links/rechts)
– 2π: sorgt dafür, dass eine Periode genau einer Umdrehung entspricht.

3. Bedeutung von f, t, A, r und φ

f (Frequenz): – Anzahl der Schwingungen pro Sekunde (Hz). – Größeres f → schnellere Schwingung und schnellere Kreisbewegung.

t (Zeit): – wie lange die Bewegung schon läuft. – In der Animation wächst t kontinuierlich, dadurch bewegt sich der Punkt und die Wellen laufen.

A (Amplitude): – maximale Auslenkung der Welle nach oben/unten. – Steuert die „Höhe“ der Sinus- und Kosinuskurve.

r (Radius): – Größe des Kreises. – Je größer r, desto größer die Kreisbahn.

φ (Phase): – verschiebt den Startwinkel der Kreisbewegung. – verschiebt Sinus- und Kosinuswelle als Ganzes nach links/rechts. – φ = 0 → Start an einer Referenzposition; φ ≠ 0 → Start an anderer Stelle auf dem Kreis.

4. Fourier-Sicht: Sinus- und Kosinusanteile

Die Fourier-Analyse sagt: Jede periodische Bewegung lässt sich als Summe aus Sinus- und Kosinusanteilen schreiben.

Für eine reine Kreisbewegung mit Amplitude A und Phase φ gilt:

Acos = A · cos(φ)
Asin = A · sin(φ)

– A_cos ist der Kosinus-Anteil (horizontale Komponente)
– A_sin ist der Sinus-Anteil (vertikale Komponente)
– zusammen bilden sie den Gesamtvektor mit Länge A.

Im Fourier-Canvas siehst du: – den Kreis mit Radius A (Gesamtamplitude)
– einen blauen Vektor für den Kosinus-Anteil (x-Richtung)
– einen weißen Vektor für den Sinus-Anteil (y-Richtung)
– einen grünen Vektor als Summe (Fourier-Vektor)
– der Winkel dieses Vektors entspricht der Phase φ.

5. Warum π überall drin steckt

π verbindet:

– Kreisumfang (2πr)
– Winkelmaß (2π Radiant = 1 Umdrehung)
– Periodizität von Sinus und Kosinus (eine Periode = 2π)
– Zeit und Frequenz über den Ausdruck 2π f t

Sobald etwas periodisch ist – Kreisbewegung, Welle, Schwingung – taucht π als natürlicher Taktgeber auf.